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如果把3·n + 1问题改为3x·n + 1问题


Collat​​z猜想也叫做3·n + 1问题。这可能是数学中最受欢迎的人所知的未解之谜。它只是初等,连小学生都能听懂它的内容;但解决它却如此之难,以至于PaulErdős曾说:“或许现在的数学还没准备好去解决这样的问题。”这到底是一个什么样的问题呢?让我们来看一下Collat​​z猜想的叙述:

任意取一个正整数n。如果n是奇数,则把n变成3·n + 1;如果n是偶数,则把n变成n / 2。不断重复操作,则最终一定会得到1。

举一个例子,如果n = 26,那么经过下面10步之后,它最终变成了1:

26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

Collat​​z猜想说的就是,这个规则对于所有正整数n均值。这个问题看起来简单,以至于无数的数学家都掉进了这个坑里。光从这个问题的大量别名,便能修剪这个问题,不知道:Collat​​z猜想又叫做Ulam猜想,Kakutani问题,Thwaites猜想,Hasse算法,Syracuse问题……研究这个问题的人很多,解决这个问题的人却一个没有。后来,人们干脆把它叫做3 ·n + 1问题,让该数学家也不沾光。

这个问题有多难呢?我们可以从下面的这个例子中略见一斑。虽然从26出发只消10步变成变成1,但若换一个数字,尺寸27,情况就大不一样了:

27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→161→484→242→121 →364→182→91→274→137→412→206→103→310→155→466→233→700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→1336 →668→334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850 →425→1276→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232 →4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80 →40→20→10→5→16→8→4→2→1

可见,当n的值不同时,从n变到1的路子是很没规律的。

有趣的是,如果我们把Collat​​z猜想中的乘以3改乘以任意一个3 x (其中x的值可以你自由选择),那么Collat​​z猜想就是正确的了。下面我们就来证明这一点。

首先我们证明一个引理:任何一个正整数都可以表示成下面这样:

2 a 1 × 3 b 1 + 2 a 2 ×3 b 2 + 2 a 3 [19659013]×3 b 3 +…+ 2 a n ×3 b n

其中0 ≤a 1 <a 2 <a 3 <…<a n ,并且b 1 > b 2 > b 3 >…> b n ≥0。举个例子,213 = 3 4 + 2 2 ×3 2 + 2 5 ×3就是一种合法的表示法。[19659005]反证,假设有的数不能用这种方法来表示,那么一定存在一个最小的不能用这种方法来表示的数,不妨碍把它叫做y。可以y不能是偶数,否则把y / 2的表示法中的每一项都再乘以一个2,就能得到y的一种合法表示了。如果y是奇数呢?无妨假设3 i ≤y <3 i + 1 ,其中i是一个适当的正整数。于是,y'= y – 3 i 就是一个偶数,并且y'/ 2 <3 i 。把y′/ 2的表示法中的每一项都再乘以一个2,再在最前面加上一个3 i ,可以得到y的一种合法表示了。

下面我们就来证明,不断地执行n→3 x ·n + 1(当n为奇数时)以及n→n / 2(当n为偶数时)的变换,任何一个正整数最终都能实现1。还是以27。问题改版后,把27变成1的步骤数能大大减少:

(((((((27×3 2 + 1)/ 2 2 ×3 +1)/ 2 3 ×3 2 +1)/ 2 4 ×3 +1)/ 2 3 ×3 +1)/ 2 4 = 1

在这一个过程中,我们一共除以了16个2。。,,上式中所有2头上的指数之和是16。想一想,如果等式两边同时乘以2 16 ,结果会怎样?结果是,等式左边就不再有除法了:

27×3 7 + 3 5 + 2 2 × 3 4 + 2 5 ×3 2 + 2 9 ×3 + 2 12 = 2 ] 16

其中,等式左边的3 5 +…+ 2 12 ,正好是2 16 – 27×3 ] 7 的一个合法的表示法!

所以,为了证明某个正整数n最终能转化1,我们只需要证明,存在适当的a和b,造成2 a – n·3 b 有一个合法的表示法,并且表示法第一项里3的指数小于b。

由于log 3 2为无理数,因此很容易研磨,对于任意的正整数n,我们总能找到一个b,因此[n·3 b ,(n + 1)·3 b )区间内包含某人把这个2的整数次幂记作2 a 。既然每个一个正整数都有一个合法的表示法,那么2 a – n· 3 b 也有一个合法的表示法。而2 a – n·3 b <3 b ,因此它的表示法第一项里3的指数一定小于b。

这里最后,让我们再对上一段中第一句话的陈述引起了一些额外的解释。预计有一个总长为1的圆形轨道,轨道上有一个周长为r的轮子,其中r为某个大于0的无理数。在轮子上的某个位置涂一个墨点。让车轮从圆形轨道上的某个位置出发,行驶轨道往前滚动。每次墨点接触轨道时,都会在轨道上留下一个记号(车轮上的墨点不会干掉,滚过已有的记号时也不会反过来沾上墨点)。我们可以证明一个

首先,任意两个记号的位置都不会重合,否则某些多重倍的r大致为:车轮轴向轨道一圈一圈地滚动下去之后,轨道上的各个地方地方密集密地分布着记号。因此,车轮转了无穷多圈之后,轨道上也会留下无穷多个记号。取任意大的正整数N,把轨道平均划分为N份,每份的长度均为1 / N。根据鸽笼原理,一定有两个记号落入了同一份里。这两个记号之间的距离d小于1 / N。不妨碍假设轮子从先产生的那个记号出发,转了k圈之后来到了后产生的那个记号;然后,从这里出发再转上k,2k,3k,…圈,就会继续得到一段间隔为d的记号。如果正整数N

足够大,间隔d就会足够小,随之产生的记号也将会足够密地分布在整个轨道上了。

为什么对于任意的正整数n,我们总能找到一个b,使得[n·3 b ,(n + 1)·3 b ])区间内部包含某个2的整数次幂呢?在对数尺度下,由此化为了刚才讨论的问题。[n×3 0 ,n×3 1 ),[n×3 1 ,n×3 2 ),[n×3 2 ,n×3 3 )) ,…成为一个一个等长的区间,区间的长度均为log(3)。而2 0 ,2 1 ,2 2 ,…也就变成一段的等距点,相邻两个点之间的距离是log(2)。如果把log(3)的长度长度1个单位,那么log(2)的长度就是log( 2)/ log(3)= log 3 2个单位,这是一个无理数。这就完全相当于周长为log 3 2的轮子整体总为为1的圆形轨道滚动。根据先前的数值,可以得到的标记将会稠密地分布在这些等长区间内的各种位置,当然也将会有很多标记落进了形如[n·3 b ,(n + 1)·3 b )的区间里。

这个问题出自 http://www.brand.site.co.il/riddles/ 201508q.html


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